Kruskal-Wallis İstatistiğinin Bağımsız Parçalarına Ayrılmasında Yeni Bir Dönüşüm Yöntemi

Abstract

k kitleden çekilen ömeklem büyüklükleri n₁,n₂,...,nk ve ömeklem sıra sayıları toplamları R₁,R₂,...,Rk olduğuna göre bu göstergelere dayalı olarak tanımlanan Kruskal-Wallis H istatistiği asimptotik olarak k-1 serbestlik derecesinde ki-kare dağılımlı olacaktır. Bu teorem Kruskal tarafından tanıtlanmıştır. Bu tanıtlamada n=n₁+n₂+...+nk olmak üzere (n+1) H/n istatistiği kullanılmıştır. Bu istatistiğin bir dönüşüm sonucunda standart normal raslantı değişkenlerinin bir karesel biçimi olarak yazılabileceği ve dolayısıyla da asimptotik olarak k-1 serbestlik derecesinde ki-kare dağılımlı olacağı gösterilmiştir. Buradan da (n+1) H/n istatistiğinin asimptotik olarak H istatistiğine eşitleneceğini göz önünde bulundurularak H istatistiğinin dahi k-1 serbestlik derecesinde ki-kare dağılımlı olduğu sonucu çıkarılmıştır. Bu çalışmada farklı bir dönüşüm uygulanarak doğrudan doğmya H istatistiğinin k-1 sayıda standart normal raslantı değişkeninin karesel biçimi olarak yazılabileceği ve dolayısıyla da asimptotik olarak k-1 serbestlik derecesinde ki-kare dağılımlı olacağı gösterilmiştir.

The theorem is that well-known Kruskal-Wallis H statistic has asymptotically chi-square distribution with k-1 degrees of freedom while sample sizes are n₁,n₂,...,nk and sample rank sums are R₁,R₂,...,Rk from k populations. Kruskal (1952) has used a transformation formula, which decompose the statistic (n+1) H/n to independent parts, to prove the theorem. Then he has argued that the statistic (n+1) H/n is a quadratic form of asymptotically normal random variables. Consequently he has argued that the statistic (n+1) H/n and also the statistic H has asymptotically chi-square distribution. In this study to prove the theorem by using new transformation formula, which divide to independent parts of only the statistic H, it has been proved that the statistic H may be directly written as a quadratic form of asymptotically standard normal random variables. Consequently it has also been showed that the statistic H has asymptotically chi-square distribution with k-1 degrees of freedom.