Cohen’s Theorem and Eakin-Nagata-Formanek Theorem

Abstract

The purpose of this work is to show that the classical Cohen’s Theorem and Eakin-Nagata-Formanek Theorem are parts of one single theorem on modules. Here is the theorem:Theorem. For a module M over a commutative ring R with identity, the following statements are equivalent: a) MJ is finitely generated for each ideal J of R. b) MP is finitely generated for each prime ideal P of R.

c) Every prime submodule of M is finitely generated.

d) M is Noetherian.

e) M satisfies the maximum condition on extended submodules.

f) M satisfies the ascending chain condition on extended submodules.

Equivalence of c) and d) implies classical Cohen’s Theorem while equivalence of d) and e) implies Eakin-Nagata-Formanek Theorem.

Bu çalışmanın amacı, klasik olarak Cohen Teoremi ve Eakin-Nagata-Formanek Teoremi olarak bilinen teoremlerin bir tek teoremin parçaları olduğunu sergilemektir. Söz konusu teoremlerin modüllere bir genellemesi olan bu teorem şöyle ifade edilebilir:

Teorem. Birimli değişmeli bir R halkası üzerinde bir M modülü (sağ modül) için aşağıdaki önermeler denktir:

a) R nin her ideali J için MJ sonlu üretilmiştir.

b) R nin her asal ideali P için MP sonlu üretilmiştir.

c) M nin her asal altmodülü sonlu üretilmiştir.

d) M Noetheryendir.

e) M , genişletilmiş altmodülleri üzerinde maksimum koşulunu sağlar.

f) M , genişletilmiş altmodülleri üzerinde artan zincir koşulunu sağlar.

Bu önermelerden c) ve d) nin denkliği klasik Cohen Teoremim, e) ve d ) nin denkliği ise Eakin-Nagata-Formanek Teoremim verir.