Bazı kısmi türevli diferansiyel denklemlerin hareketli en küçük kareler collocatıon metodu ile sayısal çözümleri

Abstract

Bilim ve mühendisliğin pek çok alanında ortaya çıkan problemleri modellemek için genellikle lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler kullanılır. Bu denklemler öncelikle analitik olarak çözülmeye çalışılır. Fakat bu denklemlerin bir çoğu için ya analitik çözüm mevcut değil ya da analitik çözümü bulmak kolay değildir. Bu nedenle böyle denklemlerin yaklaşık çözümlerini elde edebilmek için sayısal yöntemler kullanılmaktadır. Bu tip denklemlerin çözümünde kullanılabilen çok sayıda sayısal yöntem vardır. Bugüne kadar yaygın olarak kullanılan bazı sayısal yöntemler incelendiğinde bu yöntemler üzerinde modelleme eksiklikleri ve çözüm süreçlerinin zorluğu gibi bazı eksiklikler tespit edilmiştir. Son yıllarda yapılan çalışmalar sonucunda ağsız yöntemler olarak bilinen ve yukarıda değinilen eksikliklere olumlu cevaplar verebilen yöntemler geliştirilmiştir. Hareketli En Küçük Kareler Collocation yöntemi de bir ağsız yöntemdir. Bu çalışmada Hareketli En Küçük Kareler Collocation metodu kullanılarak EW, MEW, GEW, NLS ve Fisher denklemlerinin sayısal çözümleri elde edilmiştir. Metodun geçerliliğini göstermek amacıyla her bir denklem için çeşitli test problemleri kullanılarak sayısal çözümler elde edilmiştir. EW, MEW ve GEW denklemlerinin analitik çözümü bilinen tek solitary dalga hareketi test problemi için L2, L? hata normları ve noktasal yakınsama oranları ile her bir test problemi için kütle, enerji, momentum korunumlarının değerleri hesaplanmıştır. NLS denkleminin analitik çözümü bilinen tek soliton çözümü için L2, L? hata normları ve noktasal yakınsama oranları ile her bir test problemi için korunumların değerleri hesaplanmıştır. Fisher denkleminin analitik çözümü bilinen üçüncü test problemi için L2, L? hata normları ve noktasal yakınsama oranları ile çözüm bölgesi üzerindeki bazı bölüntü noktalarında mutlak hatalar hesaplanmıştır. Ayrıca bütün denklemlerin test problemleri için elde edilen sayısal çözümlerin grafikleri gösterilmiştir. Elde edilen sayısal sonuçlar analitik sonuçlarla ve literatürdeki bazı sayısal sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Bu denklemlerin her biri için Hareketli En Küçük Kareler Collocation metodu ile elde edilen fark denklemlerinin matris metoduyla kararlılık analizi yapılmıştır.