Konveks analizde eşleniklik

Abstract

Duallik kavramı matematiğin birçok alanında ortaya çıkar. Matematikçiler bir problemle karşılaşınca bu problemi, görünüşü orijinal problemden oldukça farklı fakat çözümü daha kolay olan başka bir probleme dönüştürüp çözmek isterler. Duallik teoremlerinden her biri bir diğerinin dengi olan iki matematiksel teori içerir. Beş bölümden oluşan bu çalışmada, son yıllardaki araştırmalarda sıklıkla karşılaşılan, bir konveks fonksiyona, bunun eşeniği diyeceğimiz bir başka konveks fonksiyonu karşılık getirerek, duallik kavramına bir giriş yapılmış, konveks fonksiyonlar ve konveks eşlenikleri arasındaki ilişkiler araştırılmıştır. Çalışmanın ilk bölümünde, çalışma için gerekli olan tanımlar ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde sublineerlik kavramı tanımlanmış ve bazı özellikleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde sonlu konveks fonksiyonlar için subdiferansiyel tanımı üç farklı şekilde verilerek, bu tanımların birbirine denkliği göterilmiştir. Daha sonra, subdiferansiyelin yerel özellikleri incelenmiş ve bazı fonksiyonların subdiferansiyelleri hesaplanmıştır. Dördüncü bölümde sırasıyla R, Rn ve herhangi bir topolojik vektör uzayı üzerinde tanımlı gerçel değerli fonksiyonlar için eşleniklik kavramı tanıtılmıştır. Eşlenik fonksiyonun temel özellikleri incelenerek subdiferansiyel kavramı ile ilişkisi verilmiştir. Son bölümde konveks optimizasyon problemleri tanıtılarak, eşlenik fonksiyonu yardımıyla bu problemlerin dual problemleri kurulmuştur. Böylece primal ve dual problemlerin çözümleri arasındaki ilişkiler verilmiştir.