Düğüm gruplarının Su(2) temsilleri

Abstract

Bu tez tamsayı düğümve tamsayı link gruplarının SU(2) temsilleri uzayı,G tamsayı düğüm ya da link grubu olmak üzere, R(G) = Hom(G,SU(2)) uzayının topolojik yapısı hakkındadır. Köşegen bir temsille eşlenik olan temsile indirgenebilir denir. Köşegen temsiller abelyen temsiller olarak da alınabilir ve bunun tersi de doğrudur. Bu çalışmanın amacı tamsayı düğümve tamsayı link gruplarınınSU(2) temsillerini SO(3) denklik altında sınıflandırmaktır. Bilindiği üzere SO(3) = S3/{±I }’nın S3 üzerine eşlenik ile verilen bir etkisi vardır. Bu etki R(G) üzerine doğal bir şekilde genişler ve indirgenemez temsiller kümesi R?(G)’ye kısıtlandığında serbest bir etki olduğundan [R?(G)] = R?(G)/(SO(3)’ün etkisi) tanımlanabilir. Çalışma boyunca SU(2) ve S3 izomorf Lie grupları olarak ve S3, d(x, y) = cos?1 < x, y >? [0,?] metriğiyle bir metrik uzay olarak göz önüne alınmıştır. Kompleks sayılarda olduğu gibi birQ birimkuaterniyonuQ = cos?+ sin?q = e?q kutupsal formda kullanılmıştır. Wirtinger gösterimiyle verilen bir düğüm grubunun üreteçleri meridyenlerin homotopi sınıfları olduğundan grubun bir SU(2) temsili, gruptaki karşılık gelen ilişkileri sağlayan kuaterniyonların bir kümesi olarak düşünülebilir. Dolayısıyla bir temsil SU(2)’da düğüm grubunun üreteç sayısı olan n noktanın bir konfigürasyonu olarak göz önüne alınabilir. O halde (SU(2))n’nin bir alt kümesi olarak; temsil uzayı, (SU(2))n’den bir altuzay topolojisi devralır. Bu altküme kompakt-açık topoloji ile donatılabilir ancak denk olmalarına rağmen altuzay topolojisi bir şekilde daha kanoniktir. Anlaşılırlık bakımından öncelikle düğümdurumu daha sonra link durumu incelenmiştir. Tamsayı düğüm ve tamsayı link gruplarının çember temsillerinin sınıflandırılması daha önce çalışılmış ve bu tezde bu çalışma baz alınarak G grubunun bir çember temsili ile bir SU(2) temsili ilişkilendirilmiştir. Bir tamsayı düğüm ya da link grubu G’nin herhangi bir SU(2) temsili bir çember temsili indirger ve tersine bir çember temsil bir SU(2) temsile kaldırılabilir. Sonuç olarak G’nin temsil uzayı SO(3) denklik altında karakterize edilmiş olur.